Empilements apolloniens de cercles




I. Empilements apolloniens de cercles dans un polygône


On part d'une disposition élémentaire de cercles intérieurs à un polygône, tangents entre eux deux à deux et éventuellement tangents à un ou plusieurs cotés du polygône tels que ci-dessous.

Dans chaque espace entre trois cercles deux à deux tangents ou deux cercles tangents et tangents à un coté ou un cercle tangent à deux cotés adjacents, on insére un cercle tangent aux trois composants :


3 cercles tangents 2 à 2


2 cercles tangents et tangents à un côté


cercle tangent à 2 côtés


On obtient ainsi une nouvelle disposition à laquelle on réapplique le processus et ainsi de suite.

Les sphères obtenues à chaque nouvelle étape sont de couleurs différentes : gris -> vert-jaune -> vert foncé -> orange -> jaune.


départ : triangle avec son cercle inscrit

départ : triangle avec trois cercles tangents deux à deux

départ : carré avec quatre cercles égaux et un cercle central

départ : carré avec quatre cercles inégaux




II. Empilements apolloniens de cercles sur une sphère

Dans ce paragraphe, les images de la deuxième colonne des tableaux sont des images en relief à regarder avec des lunettes rouge-cyan.

A. Méthode 1 :
Réitération d'inversions centrées aux sommets d'un polyèdre régulier

Suite à la phrase d'Edmond Bonan lors d'un de nos échanges :
"Quatre cercles A,B,C et D ( de la sphère unité ) tangents 2 à 2 étant donnés, un cinquième E tangent à chacun des trois premiers se déduit de D par l'inversion de centre le point commun des plans des trois premiers cercles, laissant invariante la sphère."

J'ai considéré un polyèdre régulier ( tétraèdre, cube, octaèdre ...) et la sphère S0 tangente à ses arêtes en leur milieu. Les faces coupent ainsi cette sphère selon des cercles égaux et tangents.
Je considère les inversions Ci centrées aux sommets Ai du polyèdre et laissant globalement invariante la sphère S0.

Je fais subir à tous les cercles les inversions Ci (sauf ceux invariants par Ci ) : j'obtiens une nouvelle famille (F1) de cercles tracés sur la sphère S0.
Je recommence l'opération avec (F1) et ainsi de suite (F2), ...

Tétraèdre

Cube

Octaèdre

Dodecaèdre

Icosaèdre


image 2D

image 3D

détail



B. Méthode 2 :
Projection stéreographique inverse d'une baderne ou d'un empilement apollonien du plan sur une sphère


Cette méthode très simple à mettre en oeuvre est donc beaucoup plus riche puisque les empilements de cercles du plan sont très divers.

On peut ensuite faire subir diverses rotations sur la sphère à l'image de l'empilement ainsi obtenue.

Départ : baderne plane avec 4 cercles égaux + rotations

Départ : baderne plane avec 4 cercles égaux + rotations

Départ : baderne plane avec 4 cercles égaux + symétrie

Départ : badernes imbriquées + symétrie

Départ : empilement Apollonien dans un carré + symétrie




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