Cercles et sphères d'Apollonius




I. Cercles d'Apollonius

Soit un polygone régulier à N cotés de longueur 2r, de centre Im, de sommets S(i)=r/sin(Pi/N)*[cos(2*Pi*(i-1)/N), sin(2*Pi*(i-1)/N)] et les N cercles C(i) de rayon r centrés en ces sommets pour i=1..N.
On appelle Ce le cercle circonscrit à ces cercles, donc de rayon R=r+r/sin(Pi/N) et Cm le cercle "inscrit" de rayon R-2r.

Pour i=1..N, soit I(i) l'inversion laissant Ce, les deux cercles contigus C(i) et C( (i mod N)+1) et le cercle Ce invariants globalement.
Soit Im l'inversion de centre O laissant les cercles C(i) invariants globalement ; elle transforme le cercle Ce en le cercle Cm.
J'ai tracé en rouge les cercles d'inversion.
Dans le programe Maple, j'ai fait une hmothétie telle que pour tout N, le grand cercle Ce ait pour rayon 1.



Etape 1 : (E1) étant la réunion de tous les cercles précédents, on prend la réunion (F) des images de (E1) par les N inversions I(i) puis la réunion (E2) de (F) et de l'image de (F) par Im.




l'ensemble (E1) en bleu


l'ensemble (F) en vert


l'ensemble (E2)) en vert



Etape 2 : On recommence la suite des inversions précédentes à partir de (E2).

...etc jusqu'à l'étape n choisie.

La réunion de tous les ensembles (Ej) pour j=1..n, donne la baderne d'ordre n.


la baderne d'ordre 2




quelques exemples selon le nombre de cotés du polygone initial


On peut aussi imbriquer les badernes !





II. Sphères d'Apollonius

On peut procéder de façon analogue avec des sphères de rayon r centrées aux sommets d'un polyèdre régulier (tétraèdre, cube, octaèdre) et les inversions laissant les sphères centrées aux sommets d'une même face et la sphère circonscrite globalement invariantes.
Avec un programme Maple, j'ai obtenu les sphères d'Apollonius ; leur tracé dans Maple n'étant pas très esthétique, je l'ai réalisé avec le logiciel PovRay.
Les sphères obtenues à chaque itération sont de couleurs différentes : vert-jaune, gris, orange, violet, bleu-vert, vert foncé.
Pour voir l'intérieur, j'ai enlevé une grosse sphère et réalisé un anaglyphe à regarder avec des lunettes rouge-cyan pour voir en 3D.


base tétraèdre


anaglyphe : lunettes rouge-cyan


base cube


anaglyphe : lunettes rouge-cyan


base octaèdre


anaglyphe : lunettes rouge-cyan



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