Géodes

J'ai créé ces lampes avec une imprimante 3d
et mis les fichiers sur cults3d.com : rechercher "geode pentaki-dodecaedre"

Les constructions et dessins de cette page ont été réalisés avec un programme Maple. Cliquer pour télécharger
Il y a sans doute de meilleures méthodes pour réaliser cela ...

I. Principe et généralités

Soit un triangle équilatéral ABC et deux entiers a et b avec b inférieur ou égal à a.  On partage le coté BC en a+b parties égales et soit P le point de rang a à partir de B.  Par les autres points, on trace les segments parallèles à AP ; on procède de même par permutation circulaire sur CA, AB.  On obtient ainsi un réseau de triangles équilatéraux égaux ( a = 3 ; b = 2 pour ce dessin ).
La géode obtenue avec un octaèdre n'est pas très belle mais les images pour les explications sont plus simples àn interprêter.  Etant donné un polyèdre ayant pour faces des triangles équilatéraux égaux, on procède à l'opération précédente pour toutes les faces orientées de même par rapport à leur normale issue du centre du polyèdre.( ceci est vérifié avec geom3d de Maple pour octahedron et icosahedron )  On relie trois par trois les sommets les plus proches formant ainsi des facettes triangulaires :
Puis on projette sur une sphère centrée au centre du polyèdre pour obtenir la géode :

Remarque :
Le cas b = 0 revient à considérer le réseau de triangles dont les cotés sont parallèles aux cotés de la face donc bien plus simple à obtenir directement que par la méthode générale précédente ( voir fin du programme Maple joint ).

II. Exemples pour différents couples (a,b) appliqués à l'icosaèdre

Géode avec icosaèdre a = 4 ; b = 0
Géode avec icosaèdre a = 3 ; b = 1
Géode avec icosaèdre a = 2 ; b = 2

III. Géodes construites à partir de différents polyèdres

Outre l'octaèdre et l'icosaèdre, la méthode peut s'appliquer à un polyèdre à faces triangulaires pas trop éloignées de la forme équilatérale par exemple cube et dodécaèdre augmentés mais il faut orienter correctement les faces si besoin.

Géodes avec octaèdre
a = 10 ; b = 0	a = 13 ; b = 3
Géodes avec icosaèdre
a = 10 ; b = 0	a = 15 ; b = 0
Géodes avec dodécaèdre augmenté
a = 3 ; b = 3	a = 4 ; b = 4
Géodes avec cube augmenté
a = 8 ; b = 0	a = 12 ; b = 0

IV. Exemple de dual de géode

Dual de la géode de l'icosaèdre de type (8,0)

Dual de la géode du Pentaki-Dodécaèdre de type (5,5)