Quelques surfaces réglées


Une surface de Catalan est une surface réglée dont les génératrices restent parallèles à un plan fixe appelé plan directeur.
Un conoïde est une surface réglée dont les génératrices restent parallèles à un plan (P), appelé plan directeur du conoïde , rencontrant une droite (D), appelée axe du conoïde et soumises à une autre condition.
Quand (P) et (D) sont perpendiculaires, le conoïde est dit droit. Un conoïde fait donc partie des surfaces de Catalan.

I. Quelques générations de surfaces réglées


Conoïde de Plücker
Conoïde droit de directrice une couronne sinusoïdale
Equations : [u*cos(t), u*sin(t), sin(n*t)]:

n = 2

n = 3


Tangentes horizontales issues de Oz à une sphère tangente à Oz
Equations : [u*cos(t),u*sin(t),sin(t)]


Surface engendrée par les cordes d'une courbe gauche C(t)
Equations : C(t)+ u*( C(f(t)) - C(t) ) exemple : C=noeud de trèfle


Droites passant par les points de deux arcs C1(t) et C2(f(t)) où f est une fonction
Equations : C1(t) +u*( C2(f(t)) - C1(t)

deux paraboles

deux ellipses


II. Droites tangentes à la sphère de centre (0,0,0) de rayon 1 rencontrant les droites { x=y, z=-1} et { y=-x, z= 1}

On obtient deux hyperboloïdes égales


III. Surface engendrée par les tangentes

Clélie

tangentes à [sin(t),cos(t), cos(2t)]

Hélice circulaire


IV. Enveloppe des plans tgts à une courbe


Clélie

Hélice circulaire