Expansion de polyèdres à faces triangulaires anaglyphe en relief à regarder avec des lunettes rouge-cyan
On se propose de construire sur chaque face d'un polyèdre classique (P) à faces triangulaires trois facettes planes en forme de cervolant ; le polyèdre ainsi obtenu sera nommé expansion de (P) dans la suite de cette page.
Soit (A1, A2, A3) une face de (P) et O son centre.
Les milieux des cotés sont notés M12, M23, M31 ; leur distance à O sont notées respectivement l3, l1, l2.
K étant un coefficient et M l'équibarycentre de (M12, M23, M31), on détermine la fonction f du point G(K)=f(K)OM tel que les facettes (A1,M12,G,M31) ...etc, par permutation circulaire, soient planes.
Les coordonnées des points Ai sont notées [ai,bi,ci] pour i variant de 1 à 3.
Les coordonnées, en fonction de K et des {ai,bi,ci}, des trois facettes sont données dans ce fichier En appliquant cette fonction aux différentes faces d'un polyèdre, on obtient la liste des faces de son expansion en fonction de K.
image des facettes pour K0
animation : souris sur image
Les paragraphes suivants en sont l'application aux faces de quelques polyèdres classiques.
I. Application : tétraèdre
Le fichier des coordonnées du tétraèdre et de son expansion sont dans ce fichier
un exemple
animation : souris sur image
On passe du tétraèdre à un tétraèdre homothétique de rapport 3/2 en passant par un rhomboèdre à 12 faces.
II. Application : octaèdre
Le fichier des coordonnées de l'octaèdre et de son expansion sont dans ce fichier
un exemple
animation : souris sur image
On passe de l'octaèdre à un cube en passant par un dodécaèdre rhombique.
III. Application : icosaèdre
Le fichier des coordonnées de l'icosaèdre et de son expansion sont dans ce fichier
un exemple
animation : souris sur image
On passe de l'icosèdre à un dodécaèdre en passant par un hexacontaèdre semi-régulier.
IV. Application : cube étoilé
Le fichier des coordonnées du cube étoilé et de son expansion sont dans ce fichier
un exemple
animation : souris sur image
On passe du cube étoilé au polyèdre
V. Application : triaki-tétraèdre
Le fichier des coordonnées du triaki-tétraèdre et de son expansion sont dans ce fichier
