Approximations des surfaces minimales de Schwarz




La visualisation des applets nécessite Java Runtime installée et les scripts autorisés.
De nombreuses visualisations stéréoscopiques sont possibles : parallèle, croisé, anaglyphe, entrelacé ...etc ainsi que la visualisation monoscopique.



Robert Ferréol m'avait demandé de lui faire des figures pour sa page : http://www.mathcurve.com/surfaces/schwarz/schwarz.shtml
J'ai écrit un programme Maple qui réalise les tracés que vous pourrez trouver à la page ci-dessus avec les explications mathématiques de Robert Ferréol.
Ce programme Maple est disponible sous forme zip : ICI , "zip" car l'hébergeur de mon site ne reconnait pas les fichiers Maple !

J'ai ensuite effectué les tracés sous PovRay qui permet d'obtenir de meilleurs résultats visuels.

I. Approximations de la surface minimale de Schwarz D

On part de l'hexagone gauche divisé en 6 triangles puis par itérations successives on remplace chaque triangle par quatre petits triangles de façon à obtenir une surface de plus en plus régulière.
On assemble ensuite ce patch en une cellule de base qui, par déplacements successifs, va permettre d'obtenir une approximation de la surface minimale de Schwarz D.


Le tracé final des surfaces avec Maple n'est pas très esthétique donc j'ai transféré les coordonnées des points du patch hexagonal après quelques itérations dans le logiciel PovRay et fait l'assemblage dans ce logiciel qui donne de bien meilleurs rendus.

La surface obtenue est assez difficile à visualiser dès qu'il y a plusieurs cellules de base assemblées ; la visualistion en relief apporte une grosse aide dans la compréhension de la forme de cette surface.

Dans un deuxième temps, dans Maple puis dans PovRay, j'ai remplacé le patch hexagonal précédent par 6 fragments de paraboloïdes hyperboliques ce qui permet d'obtenir des surfaces beaucoup plus régulières et faciles à manipuler sous PovRay : ce sont les images de la dernière colonne du tableau ci-dessous.

On peut partir pour le patch initial d'un quadrilatère gauche et construire le patch hexagonal à partir de cette partie plus élémentaire ; les images correspondantes n'ont été réalisées que dans Maple et sont dans la partie inférieure gauche du tableau ci-dessous.

L'espace est séparé en deux volumes identiques par la surface : j'ai tracé "l'intérieur" et "l'extérieur" de deux couleurs différentes ( dernière image ci-dessous).


CLIQUER CI-CONTRE POUR EN VOIR
LES FIGURES EN RELIEF




Dans l'applet :
Le menu en bas de l'écran permet de choisir le mode de visualisation et les réglages diaporama, plein écran, ...etc

En particulier, on a les raccourcis clavier :
    touches "Alt-entr" pour passer en mode plein écran
    touche "X" pour inverser le relief

Pour certains anaglyphes, les couleurs passent mieux en mode "Dubois"


Le programme PovRay avec quadilatère divisé en triangles est disponible ICI

Le programme PovRay avec quadilatère "parboloïde" ICI




II. Approximations de la surface minimale de Schwarz P

Je procède comme pour Schwarz D mais le patch de départ est un quadrilatère gauche dont les cotés sont les demi-diagonales de deux faces adjacentes d'un cube.
De même, on procède par remplacements itérés de chaque triangle par quatre triangles : c'est la première rangée ci-dessous.
Ou bien le quadrilatère gauche est remplacé par une portion de paraboloïde hyperbolique : ce sont les trois premières images de la deuxième rangée.


J'ai fait quelques images en relief de cette deuxième surface obtenue avec Maple et avec PovRay. Il est nettement plus facile d'en appréhender la forme que celle de Schwarz D car on a un réseau orthogonal de cellules.
Comme pour la précédente,l'espace est séparé en deux volumes identiques par la surface : j'ai tracé "l'intérieur" et "l'extérieur" de deux couleurs différentes.



CLIQUER CI-CONTRE POUR EN VOIR
LES FIGURES EN RELIEF




Dans l'applet, en particulier :

    touches "Alt-entr" pour passer en mode plein écran
    touche "X" pour inverser le relief
    pour certains anaglyphes, les couleurs passent mieux en mode "Dubois"


Le programme PovRay est disponible ICI