Quelques courbes et objets fractals
Les images ont été fabriquées avec le logiciel PovRay. Ces objets sont difficiles à interpréter sur une image plate car les traits se mélangent, la vision stéréoscopique permet une bien meilleure compréhension des formes obtenues.
La visualisation est réalisée à l'aide de diaporamas flash construits avec le logiciel StereoPhotoMaker de Masuji Suto.
Dans l'applet :
Le menu en bas de l'écran permet de choisir le mode de visualisation et les réglages diaporama, plein écran, ...etc
En particulier, on a les raccourcis clavier :
touches "Alt-entr" pour passer en mode plein écran
touche "X" pour inverser le relief
Pour certains anaglyphes, les couleurs passent mieux en mode "Dubois"
Chou-fleur et chou Romanesco :
Grosso modo, le principe adopté est le suivant :
Pour le chou Romanesco :
Je prends des points Mi, i=1à 8 disposés en spirale sur un cone de base un cercle centré en O du plan xOy de sommet S sur Oz.
Partant du chou d'ordre n-1 :
1. j'amène son axe perpendiculaire à la surfaces du cone.
2. je lui fait subir une homothétie de rapport ki ( en diminuant vers le sommet du cone ) puis je le fais tourner et je translate de OMi et ceci pour tous les points Mi.
3. Puis je fais tourner p fois cette spire pour "remplir régulièrement" la surface du cone
Pour le chou-fleur, c'est un peu plus simple, au lieu d'un cone, je prends une demi-sphère et les points sur des parallèles, l'homothétie étant cette fois la même pour tous les points
A l'ordre 0, j'ai pris un petit ellipsoide de révolution d'axe Oz de centre O.
Quelques courbes( Peano, Lebesgue) obtenues de la manière suivante :
on part d'un motif de base construit dans un cube
on partage ce cube en huit cubes égaux, on relie le motif reproduit dans chacun d'eux selon une orientation "convenable"
on réitère le processus ... on obtient une courbe qui tend à remplir tout le cube initial.
Des polyèdres fractals obtenus de la manière suivante :
on fait subir à un polyèdre des homothéties de centre les sommets ( et parfois aussi les milieux des arêtes) et de rapport adéquat, on obtient un polyèdre constitué de polyèdres élémentaires,
on réitère le processus sur les polyèdres élémentaires.
Les classiques sont ceux obtenus avec le tétraèdre( Tétraèdre de Sierpinski ) et avec le cube ( éponge de Menger )
Deux petites animations montrant les itérés successifs du cube de Jérusalem dont une version avec partie centrale :
Une cycloïde sphérique est la trajectoire d'un point d'un cône qui roule sans glisser sur un cône de même sommet.
Si l'on prend un point lié au cône mobile mais non situé sur sa surface, on obtient une cycloïde rallongée ou raccourcie.
La fenêtre de Viviani est la courbe d'intersection de deux des trois surfaces : sphère, cône de révolution, cylindre de révolution.
le cone ayant son sommet sur l'équateur et passant par les pôles,
le cylindre ayant même rayon que la sphère et de même axe que le cône.
Les programmes povray permettant certains de ces tracés sont dans l'archive "fractales-courbes3d.zip" téléchargeable en cliquant
