Sphéricônes



I. Principe et généralités


(D) par 2 sommets ; 0 rotation


(D) par 2 sommets ; 1 rotation


(D) par milieux côtés ; 0 rotation


(D) par milieux côtés ; 1 rotation



Considérons le solide de révolution (S) de centre A engendré par un polygone à n côtés tournant autour d'un de ses axes de symétrie (D).
On partage (S) par un plan (P) contenant (D) en deux solides symétriques (S1) et (S2).
Soient (Z) la droite perpendiculaire au plan (P) en A et (S2k) le solide obtenu faisant subir à (S2) une rotation r(k) d'axe (Z) d'angle k*360/n degrés.

La réunion de (S1) et (S2) constitue un sphéricône que j'appelle SP(n,k) dans la suite.
(S1) et (S2) ont leurs centres de symétrie situés sur (Z) ; ces centres étant invariants dans les rotations r(k), A est donc le centre de gravité du sphéricône.

Ces sphéricônes sont constitués de surfaces latérales L_i de demi-troncs de cône ( ou dans certains cas examinés après, plus deux demi-cercles ) ; la distance du point A à ces surfaces est l'apothème du polygone ; ces surfaces L_i ont même "largeur".

D'après les deux remarques précédentes, on peut en déduire que :
        les différentes L_i se raccordent parfaitement sur un sphéricône,
        la position du sphéricône reposant sur un plan par une surface L_i quelconque est un équilibre indifférent,
        le sphéricône peut donc rouler sans glissement sur un plan avec une grande facilité.
        voir une courte video

Les sphéricônes SP(n,k) et Sp(n,-k) sont deux solides miroirs( formes chirales ).


Dans la suite, deux formes chirales sont confondues.
Si n = 2p+1 est impair, (D) passe par un sommet et le milieu du côté opposé du polygone, k variant de 1 à p donne p sphéricônes distincts.

Si n est pair :
         cas 1 : l'axe (D) passe par deux sommets opposés, n = 4p alors k variant de 1 à p donne p sphéricônes distincts.
         cas 2 : l'axe (D) passe par les milieux de deux côtés opposés,
             n = 4p alors k variant de 1 à p donne p sphéricônes distincts.
             n = 4p+2 alors k variant de 1 à p donne p sphéricônes distincts.

Les dessins ont été réalisés avec Maple qui permet de sortir l'image d'un sphéricône ou d'une de ses bandes de roulement et le fichier associé pour imprimantes 3d.
ici le programme Maple V8
Un programme PovRay réalisant les mêmes tracés peut être envoyé si on me le demande.

demi-polygone

pas de rotation

une rotation

deux rotations

trois rotations

n = 3



fichier stl pour imprimante3D

n=4

n=4



fichier stl pour imprimante3D

n=5



fichier stl pour imprimante3D

fichier stl pour imprimante3D

n=6



fichier stl pour imprimante3D

forme chirale du précédent
fichier stl pour imprimante3D

n=6



fichier stl pour imprimante3D

forme chirale du précédent
fichier stl pour imprimante3D

n=7



fichier stl pour imprimante3D

fichier stl pour imprimante3D

fichier stl pour imprimante3D

n=8



fichier stl pour imprimante3D

fichier stl pour imprimante3D

n=8



fichier stl pour imprimante3D

fichier stl pour imprimante3D


II. Bandes de roulement

Détermination du nombre de bandes de roulement ( notée BR dans la suite) et du nombre de troncs de cônes ( noté TRC dans la suite ) pour une BR par un raisonnement initié par R. Ferréol dans le cas { n pair, axe de révolution (D) passant par deux sommets opposés}.

On prend les notations de la présentation : polygone régulier initial à n côtés, (S2) déduit de (S1) par k rotations de 2*Pi/n.
Une BR est caractérisée par une suite alternée de TRC de S1 et S2 ; les départ et arrivée sur chaque TRC peuvent être repérés par les côtés du polygone initial.
On examine deux cas selon que l'axe (D) passe par un sommet ou par les milieux de deux côtés opposés.

1. l'axe (D) passe par un sommet


Les côtés du polygone initial sont numérotés de 1 à n modulo n ( on laisse n pour le dernier plutôt que 0).
Partant du côté i sur le TRC de (S1), l'arrivée est le côté n-i+1 = 1-i (mod n) qui est le départ du TRC suivant de (S2).
On tourne de -k pour se ramener à la formule précédente et on tourne de +k pour revenir à (S2) : l'arrivée sur ce dernier est le côté : n - (n-i+1 -k) +1 + k = i+ 2k (mod n)

On revient au point de départ i après q opérations précédentes, soit pour 2*k*q plus petit multiple de n donc q =ppcm(2*k,n)/(2*k) or ppcm(2*k,n)=2*k*n/(pgcd(2*k,n) donc q = n/pgcd(2*k,n).
Pour une bande BR, on passe donc par q TRC de (S1) et q TRC de (S2) pour revenir au point de départ.
Dans le cas n = 2*p, il y a donc p/q = pgcd(p,k) bandes BR chacune comportant 2p/pgcd(k,p) TRC de (S1) et (S2) alternativement.
Dans le cas n = 2*p-1 , la bande BR partant du p-ième TRC de (S1) qui est dégénéré en un demi-cercle, passe par le TRC dégénéré de (S2) et revient par le même chemin donc utilise (q+1)/2 TRC de (S1).
     Tous calculs faits, le nombre total de BR est (pgcd(k,2p-1)+1)/2,
          2(2p-1)/pgcd(k,2p-1)) TRC pour les BR ne contenant pas le p-ième TRC de (S1)
          1+(2p-1)/pgcd(k,2p-1) TRC pour cette dernière BR.


2. l'axe (D) passe par les milieux de deux côtés opposés ( donc n = 2p est pair )


Les côtés du polygone initial sont numérotés de 0 à n-1= 2p-1. Les TRC correspondant aux côtés 0 et p sont dégénérés en demi-cercles.
Partant du côté i sur le TRC de (S1), l'arrivée est le côté n-i = -i (mod n) qui est le départ du TRC suivant de (S2).
Par le même raisonnement qu'au cas 1, l'arrivée sur le TRC suivant de (S2) est le côté i+2k.
Ainsi qu'au cas précédent n impair, on arrive aux résultats :
2 BR passant par les TRC d'ordre 0 et p de (S1) avec q= 1+ p/pgcd(k,p) TRC de (S1) et (S2) alternativement
Les autres, 2p/pgcd(k,p) TRC de (S1) et(S2) alternativement.
Le nombre total de BR est donc : 1 + pgcd(k,p)


Par exemple, voici les bandes de roulement tracées pour un 32-sphéricône à 4 rotations :


Diverses présentations de l'une des bandes :




III. Fichiers STL de sphéricônes pour imprimantes 3d
J'ai mis les fichiers pour imprimantes 3D en format stl ascii pour la plupart des sphéricônes de la page.




animation : 24-sphéricône - 3 rotations


5-sphéricône, 6-sphéricône et 8-sphéricone par impression 3d


animation : 21-sphéricône - 3 rotations