Courbes de Sierpinski et Césaro
Voir le site : mathcurve.com pour précisions mathématiques
J'ai écrit un fichier Maple qui permet les constructions ci-dessous avec différentes méthodes : le fichier Maple
I. Courbes de Sierpinski
Une première façon d'obtenir les courbes de Sierpinski est de procéder de la manière suivante :
On partage un carré en quatre carrés et on considère comme motif de base le carré obtenu en reliant les milieux des demi-médianes de ces quatre petits carrés.
On ouvre ce motif en supprimant le coté marqué en couleur bleu-cyan (figure 1) et on lui fait subir l'homothétie de rapport 1/2, de centre le sommet inférieur gauche du grand carré qui amène un petit motif dans le petit carré inférieur gauche.
Soit on fait la même opération avec les trois autres sommets du grand carré et on relie les motifs ainsi obtenus dans les petits carrés contigus (figure 2), soit on fait subir des rotations de centre le centre du carré et d'angle Pi/2 pour amener le petit motif dans les trois autres petits carrés
On recommence le même processus avec ce nouveau motif : on obtient la figure 3 ... et on rétère ainsi le processus.
On obtient ainsi les courbes de Sierpinski dont voici deux itérés supplémentaires :
Au lieu de partir avec un motif carré, on peut prendre comme base un motif octogonal et faire exactement les mêmes opérations :
On obtient ainsi les courbes de Sierpinski dont voici deux itérés supplémentaires :
Une seconde façon d'obtenir ces courbes est la construction élémentaire suivante d'un quart de la courbe.
Voici la suite des opérations à réaliser que l'on peut suivre sur les figures ci-dessous :
1. on fait une homothétie de rapport 1/2 de centre D qui amène le gros motif vert dans la position du petit motif vert avec A jouant le role de D.
2. on fait une symétrie par rapport à D1, on joint les 2 motifs ; on fait une symétrie par rapport à D2.
En réitérant le processus on obtient ainsi un quart de la courbe itérée à un ordre quelconque, il suffit de compléter par rotations et relier pour obtenir la courbe complète.
On peut obtenir de nombreuses formes intermédiaires ; une petite animation permet d'en visualiser quelques unes Voir l'animation
II. Césaro avec bouts libres raccourcis
III. limite des courbes de Césaro = limite de Courbes de Sierpinski
