"Je début un article sur la recherche des fonctions g telles que g(g(x))= f(x) :
f donnée sur R+ f(0)=0 continue croissante et 0
On prend v>0 arbitraire et u arbitraire mais choisi entre v et f(v)
On se donne g arbitraire dans [u,v] continue croissante et telle que g(u)=f(v) et g(v)=u
Alors on peut prolonger g à gauche de u et à droite de v de façon qu'elle soit solution de g(g(x))=f(x)
On pose u1=g(u)=f(v), x variant sur (u,v), x1=g(x) varie sur [u1,u] alors h étant l'inverse de la fonction monotone x-->x1, x=h(x_1) x1 variant sur [u1,u] alors f(h(x)) définie sur [u1,u] prolonge g et est solution.
on continue la même construction à gauche de u1....
On fait une construction analogue à droite de v.
Demande : as tu des idées pour ... etc."
Cette étude particulière fait l'objet du problème d'agrégation de 1949.
I. Recherche numérique d'une solution
On trouvera dans le programme Maple une explication très succinte de la construction de g.
Les solutions évidentes telles que g : g(x) = x/sqrt(2) pour f : f(x) = x/2 ne sont pas l'objet de la recherche.
Graphes pour f : f(x) = x/2, le germe sur [2,3] étant x -> x.
Voir
Graphes pour f : f(x) = x/2, le germe sur [3,5] étant x -> x.
Voir
Graphes pour f : f(x) = x/4, le germe sur [2,7] étant x -> x.
Voir
Graphes pour f : f(x) = x/4, le germe sur [3,4] étant x -> x.
Voir
Il est assez remarquable que dans tous les exemples, f a une direction assymptotique et la racine exhibée n'en a pas.
Dans cet exemple, le tracé des deux droites issues de O entre lesquelles se trouve le graphe illustre ce fait.
Graphes pour f : f(x) = sqrt(x-1), le germe sur [2,3] étant x -> exp(x).
Voir
Graphes pour f : f(x) = ln(x+1), le germe sur [2,3] étant x -> exp(x).
Voir
II. Passage à une solution de -f
On peut obtenir une "racine" de -f avec une adaptation minime de la partie précédente.
Graphes pour f : f(x) = -x/2, le germe sur [2,3] étant x -> x.
Voir
Graphes pour f : f(x) = -x/2, le germe sur [2,3] étant exp.
Voir
Graphes pour f : f(x) = -sqrt(x-1), le germe sur [2,3] étant x -> exp(x).
Voir
Graphes pour f : f(x) = -x/4, le germe sur [3,4] étant x -> x.
Voir
III. Expression de solutions dans quelques cas particuliers
Dans quelques cas simples, on peut conjecturer l'expression de la solution (la détermination des coefficients étant faite par des essais sur quelques intervalles : voir le programme Maple )
Le programme Maple permet ensuite de vérifier que ce sont bien des solutions.
Voici quelques exemples (d'autres figurent dans le fichier Maple).
Exemple 1 : Pour f : f(x) = x/2, on prend g :
g impaire et pour tout n entier relatif :
sur [2^n, 3*2^(n-1)[, g(x) = x/2+2^(n-2)
sur [3*2^(n-1), 2^(n+1)[, g(x) = x-2^(n-1)
Exemple 2 : Pour f : f(x) = -x/2, on prend g :
g impaire et pour tout n entier relatif :
sur [2^n, 3*2^(n-1)[, g(x) = x/2+2^(n-2)
sur [3*2^(n-1), 2^(n+1)[, g(x) = -x+2^(n-1)
Exemple 3 : Pour f : f(x) = x/4, on prend g :
g impaire et pour tout n entier relatif :
sur [4^n, 3*4^n[, g(x) = x/8+5/2*4^(n-1)
sur [3*2^n, 4^(n+1)[, g(x) = 2*x-5*4^n
Le graphe est celui du paragraphe précédent f(x) = -x/4, le germe sur [3,4] étant x -> x :
Voir
Exemple 4 : Pour f : f(x) = x/2, on prend g :
g impaire et pour tout n entier relatif :
sur [2^n, 7*2^(n-1)[, g(x) = x/6+17*2^(n-3)/3
sur [7*2^(n-1), 2^(n+1)[, g(x) = x*3-17*2^(n-2)
Exemple 5 : Pour f : f(x) = x - ln(2), on prend g définie sur [ln(3/2), +oo[ :
pour tout n entier relatif :
sur [n*ln(2), n*ln(2)+ ln(3/2)[, g(x) = ln(exp(x)/2+ 2^(n-2))
sur [n*ln(2)+ ln(3/2), (n+1)*ln(2)[, g(x) = ln(exp(x)-2^(n-1))
IV. Quelques "racines" de l'identité construits avec la méthode de Babbage
Principe :
Soit le "germe" h, une fonction croissante sur [0,1]. h1 la fonction réciproque.
On définit g par :
sur [2n, 2n+1[, g(x) = 2n+1 + (h(x-2n)-h(0))/(h(1)-h(0))
sur [2n+1, 2n+2[, g(x) = 2n + (h1(x-2n-1)-h1(0))/(h1(1)-h1(0))
On peut passer ensuite à une "racine" de -x.
La procédure permet de fixer un germe puis de tracer les graphes.
f(x)= x et le germe sur [2,3] étant x -> x^4.
Voir
Des verticales joignent les points de discontinuité.
f(x)= -x et le germe sur [2,3] étant x -> x^4.
Voir
Des verticales joignent les points de discontinuité.
f(x)= x et le germe sur [2,3] étant x -> x^2.
Voir
f(x)= -x et le germe sur [2,3] étant x -> x^2.
Voir
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