La lintéaire

Courbe dont le rayon de courbure au point courant est inversement proportionnel à l'ordonnée de ce point.
L'ingénieur en chef du Génie Maritime MARBEC a laissé un mémoire (Bulletin de l'Association Technique Maritime 1927) sur cette courbe : une torpille dont le gouvernail de profondeur est piloté par un piston tel qu'il fasse tourner ce gouvernail d'un angle proportionnel à la profondeur y suit une linteaire. Ces renseignements et les diverses formes de la linteaire sont sur "Colles et astuces mathématiques" par Maurice Denis Papin (librairie Blanchard 1979)

Les équations obtenues faisant intervenir sqrt(C - cos(t)), il y a donc des problèmes de raccordement pour : -1 <= C <= 1

I. Calculs pour trouver les équations

# r le rayon de courbure : r=K/y
# je prend k=1/2 dans la suite
restart:

#r:=ds/dt;
dx:=cos(t)*ds: dy:= sin(t)*ds: ds:=1/2/y(t)*dt:
eqy:=diff(y(t),t)-dy/dt;
soly:=[dsolve(eqy,y(t))];
eqx:=diff(x(t),t)-dx/dt;
x1:=expand(subs(_C2=0,_C1=k,op(2,dsolve(subs(soly[1],eqx),x(t)))));
y1:=simplify(subs(_C2=0,_C1=k,op(2,soly[1])));
x2:=simplify(subs(_C2=0,_C1=k,op(2,dsolve(subs(soly[2],eqx),x(t)))));
y2:=simplify(subs(_C2=0,_C1=k,op(2,soly[2])));

II. Tracé des différentes formes

restart:
with(plots):
graf:= proc(C, p) # ***** p nbre de périodes pour C > -1 ********
local x1,y1, a1,a2,b1,b2, trans, dep :

dep:=evalf(arccos(C)); x1:=1/2*Int(cos(u)/(C-cos(u))^(1/2),u=Pi..t);
y1:=sqrt(C-cos(t));
if C >= 1 then plot([x1,y1,t=Pi/2..Pi*p],color=blue,scaling=constrained)
else
trans:=evalf(subs(t=dep),x1));
a2:=seq([-(4*i)*trans-x1,y1,t=Pi..dep],i=1..p):
a1:=seq([-(4*i)*trans+x1,y1,t=Pi..dep],i=1..p):
b1:=seq([-(4*i-2)*trans-x1,-y1,t=Pi..dep],i=1..p):
b2:=seq([-(4*i-2)*trans+x1,-y1,t=Pi..dep],i=1..p):
display(plot([a1,a2, b1, b2],scaling=constrained, color=blue,title=cat("C =", convert(C,string))));
fi;
end:
graf(-0.65,3);
graf(-0.3,2);