Courbes de Hilbert, Moore
Voir le site de Robert Ferréol http://.mathcurve.com pour précisions mathématiques
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I. Principe de la courbe de Hilbert
On partage un carré en 4 carrés élémentaires et on considère le motif obtenu en reliant les centres de ces carrés tels que deux carrés consécutifs aient un coté commun.
Les autres chemins s'en déduisent par symétries et rotations ; on se limitera donc à celui-ci.
.
La courbe de Hilbert est obtenue en reportant le motif ci-dessus et les transformé par rotation de Pi/2 
, ramenés à la taille d'un petit carré dans les quatre petits carrés de façon que :
1. les extrémités de deux motifs situés dans deux carrés consécutifs puissent être reliées par une horizontale ou une verticale sans que la courbe ainsi obtenue ait des points multiples,
2. le point d'entrée du nouveau motif ainsi obtenu est dans le coin inférieur gauche et le point de sortie dans le coin inférieur droit .
La seule disposition répondant à ces conditions est donc
On obtient ainsi un nouveau motif avec lequel on recommence le processus précédent ... et ...etc.
On obtient ainsi des courbes qui "remplissent" de plus en plus le carré initial.
II. Généralisations de la courbe de Hilbert
On peut faire varier la forme en remplaçant le motif initial par un segment horizontal de longueur réglable K.
Si on fait subir à ce segment les mêmes transformations que décrites initialement, on peut obtenir la courbe de Hibert de type 1 et par variation continue la courbe de Hibert de type 2 pour K=2.
Voici des variantes des courbes de Hilbert d'ordre 2 obtenues pour les valeurs de K comprises entre 0 et 1 ; les différentes positions du segment sont en bleu.
On peut aussi remplacer ce segment par un arc d'ellipse ce qui donne une variante avec des arrondis.
III. Courbes de Moore
En accolant quatre courbes de Hilbert et en reliant les extrémités, on obtient les courbes de Moore dont voici deux itérés d'ordre 2.
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