Chemins auto-évitants




On considère un pavage du plan par des polygônes réguliers (carrés, triangles ou hexagones) et le résean formé par les arêtes.
Un chemin auto-évitant est une suite d'arêtes contiguës ne passant jamais deux fois par le même point.
Pour un réseau, le sens de parcours sur les arêtes peut être quelconque ( réseau non orienté ) ou fixé ( réseau orienté )

J'ai écrit un programme Maple calculant ou traçant divers éléments de tels chemins partant de l'origine.
Soit un tel réseau ; je lui ai attaché les procédures RES, VOIS, QUAD.
Un point du réseau est répéré par des indices (i,j) :
      Ses coordonnées cartésiennes sont désignées par RES(i,j).
      L'ensemble des points voisins possibles auxquels il peut-être relié à l'étape suivante du chemin est nommé VOIS(i,j).
QUAD permet de tracer un quadrillage représentant le réseau.

Description du programme :
       1. définitions des données [RES, VOIS,QUAD] pour différents réseaux.
       2. Calcul et affichage d'un chemin aléatoire de longueur donnée n en paramètre.
       3. Calcul des chemins de longueur n ; affichage sous forme d'un gif animé de ces chemins.
          Elimination des chemins déduits par rotations ou/et symétrie ; affichage.
       4. construction des sens possibles de parcours pour un résean donné.
       5. Chemins et cycle hamiltoniens d'un rectangle NxM points pour de petites valeurs de N et M .
       6. Chemins auto-évitants sur une bande Zx[0,1,2..]

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I. Chemins auto-évitants sur différents réseaux

Les réseaux carré et losange donnent des résultats équivalents à une déformation près pour le graphisme.
Les réseaux hexagonal et mur de briques donnent des résultats équivalents à une déformation près pour le graphisme.
Le lien entre repérage et coordonnées d'un point du mur de brique est beaucoup plus simple à exprimer que pour le réseau en nid d'abeille.

Réseau hexagonal ou en nid d'abeille

Sens de parcours sur le réseau

Un chemin aléatoire de longueur 99

18 différentes formes des chemins de longueur 7

nombre de chemins




longueur 1 : 3
longueur 2 : 6
longueur 3 : 12
longueur 4 : 24
longueur 5 : 48
longueur 6 : 90
longueur 7 : 174
longueur 8 : 336
longueur 9 : 648
longueur 10 : 1218
longueur 11 : 2328

Réseau mur de briques

Sens de parcours sur le réseau

Un chemin aléatoire de longueur 99

18 différentes formes des chemins de longueur 7

nombre de chemins




longueur 1 : 3
longueur 2 : 6
longueur 3 : 12
longueur 4 : 24
longueur 5 : 48
longueur 6 : 90
longueur 7 : 174
longueur 8 : 336
longueur 9 : 648
longueur 10 : 1218
longueur 11 : 2328

Réseau losange

Sens de parcours sur le réseau

Un chemin aléatoire de longueur 99

108 différentes formes des chemins de longueur 6

nombre de chemins




longueur 1 : 4
longueur 2 : 12
longueur 3 : 36
longueur 4 : 100
longueur 5 : 284
longueur 6 : 780
longueur 7 : 2172
longueur 8 : 5916
longueur 9 : 16268

Réseau Carré

Sens de parcours sur le réseau

Un chemin aléatoire de longueur 99

56 différentes formes des chemins de longueur 6

nombre de chemins




longueur 1 : 4
longueur 2 : 12
longueur 3 : 36
longueur 4 : 100
longueur 5 : 284
longueur 6 : 780
longueur 7 : 2172
longueur 8 : 5916
longueur 9 : 16268

Réseau Carré orienté : lignes de même sens 2 par 2

Sens de parcours sur le réseau

Un chemin aléatoire de longueur 99

23 différentes formes des chemins de longueur 6

nombre de chemins




longueur 1 : 2
longueur 2 : 4
longueur 3 : 8
longueur 4 : 16
longueur 5 : 30
longueur 6 : 58
longueur 7 : 110
longueur 8 : 202
longueur 9 : 382

Réseau Carré orienté : lignes de même sens alterné

Sens de parcours sur le réseau

Un chemin aléatoire de longueur 99

15 différentes formes des chemins de longueur 6

nombre de chemins




longueur 1 : 2
longueur 2 : 4
longueur 3 : 8
longueur 4 : 14
longueur 5 : 26
longueur 6 : 46
longueur 7 : 88
longueur 8 : 154
longueur 9 : 278

Réseau Carré orienté en L

Sens de parcours sur le réseau

Un chemin aléatoire de longueur 99

5 différentes formes des chemins de longueur 6

nombre de chemins




longueur 1 : 2
longueur 2 : 4
longueur 3 : 8
longueur 4 : 12
longueur 5 : 20
longueur 6 : 32
longueur 7 : 52
longueur 8 : 84
longueur 9 : 136

Réseau triangulaire

Sens de parcours sur le réseau

Un chemin aléatoire de longueur 99

293 différentes formes des chemins de longueur 6

nombre de chemins




longueur 1 : 6
longueur 2 : 30
longueur 3 : 138
longueur 4 : 618
longueur 5 : 2730
longueur 6 : 11946
longueur 7 : 51882

Réseau triangulaire orienté

Sens de parcours sur le réseau

Un chemin aléatoire de longueur 99

52 différentes formes des chemins de longueur 6

nombre de chemins




longueur 1 : 3
longueur 2 : 9
longueur 3 : 21
longueur 4 : 51
longueur 5 : 123
longueur 6 : 285
longueur 7 : 669


II. Chemins et cycles hamiltoniens sur un rectangle de NxM points

On considère un rectangle de NxM points et on recherche les chemins et cycles hamiltoniens remplissants ce rectangle.
J'ai codé un point [i,j] par 10*i+j ce qui suffit pour N et M inférieurs à 9 ( sinon on remplace 10 par 100 par exemple ), ce qui permet de manipuler des listes d'entiers au lieu de listes de liste.
Le tableau suivant présente quelques chemins et cycles pour des valeurs de N et M.

4x4


4x5


5x6




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