Cercles de Malfatti généralisés




Le problème de Malfati (1803) consiste à construire trois cercles intérieurs à un triangle, tangents entre eux et aux côtés du triangle.



On généralise en n'imposant pas aux cercles d'étre intérieurs au triangle et d'être tangents deux à deux (extériéurement ou intérieurement) ; on obtient alors de nombreuses solutions.
La classification de Derousseau Voir pages 3-53 ou l'article de E.N. Barisien Voir , disent que le nombre de solutions pour tout triangle est 32 et ce chiffre se retrouve dans de multiples références sur internet, à tort semble-t-il.

On peut visualiser ainsi ces 32 solutions publiées par Hiroyasu Kamo : ICI

J'ai fait un programme Maple pour obtenir des solutions et leurs images.
Cependant ce programme renvoie plus de 32 solutions qui sont convenables visuellement et vérifient numériquement les conditions de tangences ce qui m'a beaucoup surpris.
      Remarque 1 : Pour beaucoup de solutions trouvées, les trois cercles sont deux à deux tagents extérieurement.
      Remarque 2 : Pour certaines, deux cercles sont tangents intérieurement au troisième. En voici quelqes exemples.



J'ai vainement cherché sur Internet une explication.
Enfin R.Ferréol a trouvé un lien(peu accessible) dans lequel Richard K. Guy confirme qu'il existe plus de 32 solutions avec :
« The lighthouse theorem, Morley & Malfatti—a budget of paradoxes », American Mathematical Monthly, no 114 voir le scan de R. Ferréol

On trouve donc comme solutions supplémentaires , les solutions limites où deux cercles tangents ont leur point de contact confondu avec leurs points de tangence avec un coté du triangle.
         S'il y a un point de tangence triple, les cercles sont tangents extérieurement : sur les planches de solutions les rayons de contact (en rouge) sont alignés.
         S'il y a deux points de tangences multiples, les cercles sont soit tangents extérieurement soit deux cercles sont tangents intérieurement au troisième.
Les solutions avec 9 points de tangences simples(3 cercle-cercle et 6 droite-cercle) sont les 32 communément signalées sur Internet.


Solution "courante" à 9 contacts simples
Solution à 1 contact triple, 6 simples
Solution à 2 contacts triples, 3 simples
Solution à 2 contacts triples, 3 simples


Quelques exemples suivent pour lesquels on peut constater plus de 32 solutions.
J'ai fait des planches des solutions et les données numériques associées pour vérification ; les images étant en définition assez importante, les fichiers sont gros.
J'ai donc mis des liens pour leur consultation pour les personnes intéressées( petite latence au téléchargement, cliquer sur l'image pour zoomer ).
Des solutions n'ont pas été retenues car la trop grande différence de taille entre l'un des cercles et le triangle ne permettait pas de voir disctinctement les deux.

61 solutions VOIR pour un triangle de forme voisine à celle du triangle de Hiroyasu Kamo VOIR.
Les numéros de 1 à 32 permettent d'en répérer les solutions du fichier Hiroyasu Kamo associé. Les données numériques associées : VOIR

69 solutions VOIR pour un triangle acutangle. Les données numériques associées : VOIR

84 solutions VOIR pour un triangle rectangle. Les données numériques associées : VOIR

46 solutions VOIR pour un triangle obtusangle. Les données numériques associées : VOIR


J'ai fait des animations plus légères à télécharger qui font défiler quelques solutions pour des triangles acutangle, obtusangle et équilatéral.


Les solutions pour le triangle équilatéral regroupées selon le type de contacts :


9 contacts simples ( 6 droite-cercle - 3 cercle-cercle )


6 contacts simples - 1 contact triple


3 contacts simples - 2 contact triple